<br>设r(A)=r(B)=r,方程组AX=0的基础解系为①:ζ<sub>1</sub>,ζ<sub>2</sub>,…,ζ<sub>n-r</sub>,方程组BX=0的基础解系为②:η<sub>1</sub>,η<sub>2</sub>,…,η<sub>n-r</sub>.<br>构造向量组③:ζ<sub>1</sub>,ζ<sub>2</sub>,…,ζ<sub>n-r</sub>,η<sub>1</sub>,η<sub>2</sub>,…,η<sub>n-r</sub>.<br>由向量组①可由②线性表示,则向量组②和③等价,从而r(③)=n-r,所以ζ<sub>1</sub>,ζ<sub>2</sub>,…,ζ<sub>n-r</sub>是向量组③的极大线性无关组,有η<sub>1</sub>,η<sub>2</sub>,…,η<sub>n-r</sub>可由ζ<sub>1</sub>,ζ<sub>2</sub>,…,ζ<sub>n-r</sub>线性表示,即BX=0的任一解都可由ζ<sub>1</sub>,ζ<sub>2</sub>,…,ζ<sub>n-r</sub>线性表示,故BX=0的解都是AX=0的解,所以方程组AX=0与BX=0同解.
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